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日志

 
 

算法续二  

2008-03-02 12:05:06|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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8 Life game

生命游戏,为1970年英国数学家J.H.Conway所提出,某一细胞的邻居包括上,下,左,右,左上,左下,右上与右下相邻的细胞,游戏规则如下:

1,孤单死亡:如果细胞的邻居小于一个,则该细胞在下一个状态死亡。

2,拥挤死亡:如果细胞的邻居在四个以上,则该细胞在下一个状态死亡。

3,稳定:如果细胞的邻居为两个或三个,则该细胞在下一个状态稳定。

4,复活:如果某位置原无细胞存活,而该位置的邻居为三个,则该位置将复活一个细胞。

Java代码 算法续二 - zhouhaigang.love - zhouhaigang.love的博客

  1. import java.io.BufferedReader;   
  2. import java.io.IOException;   
  3. import java.io.InputStreamReader;   
  4.   
  5. public class LifeGame {   
  6.     private boolean[][] map;   
  7.     private boolean[][] newmap;   
  8.        
  9.     public LifeGame(int maxRow, int maxColumn) {   
  10.         map = new boolean[maxRow][maxColumn];   
  11.         newmap = new boolean[maxRow][maxColumn];   
  12.     }   
  13.        
  14.     public void setCell(int x, int y) {   
  15.         map[x][y] = true;   
  16.     }   
  17.        
  18.     public void next() {   
  19.         for(int row = 0; row < map.length; row++) {   
  20.             for(int col = 0; col < map[0].length; col++) {   
  21.                switch (neighbors(row, col)) {   
  22.                   case 0:    
  23.                   case 1:    
  24.                   case 4:    
  25.                   case 5:    
  26.                   case 6:    
  27.                   case 7:    
  28.                   case 8:    
  29.                      newmap[row][col] = false;    
  30.                      break;    
  31.                   case 2:    
  32.                      newmap[row][col] = map[row][col];    
  33.                      break;    
  34.                   case 3:    
  35.                      newmap[row][col] = true;    
  36.                      break;    
  37.                }    
  38.             }   
  39.          }   
  40.   
  41.          copyMap();   
  42.     }   
  43.   
  44.     public void outputMap() throws IOException {    
  45.         System.out.println("\n\nGame of life cell status");    
  46.         for(int row = 0; row < map.length; row++) {    
  47.             System.out.print("\n ");    
  48.            for(int col = 0; col < map[0].length; col++)    
  49.               if(map[row][col] == true)    
  50.                   System.out.print('#');    
  51.               else    
  52.                   System.out.print('-');    
  53.         }    
  54.     }   
  55.        
  56.     private void copyMap() {   
  57.         for(int row = 0; row < map.length; row++)    
  58.            for(int col = 0; col < map[0].length; col++)    
  59.               map[row][col] = newmap[row][col];    
  60.     }   
  61.        
  62.     private int neighbors(int row, int col) {   
  63.         int count = 0;    
  64.   
  65.         for(int r = row-1; r <= row+1; r++)    
  66.            for(int c = col-1; c <= col+1; c++) {    
  67.               if(r < 0 || r >= map.length ||   
  68.                  c < 0 || c >= map[0].length)    
  69.                  continue;    
  70.               if(map[r][c] == true)    
  71.                  count++;    
  72.            }    
  73.   
  74.         if(map[row][col] == true)    
  75.            count--;    
  76.             
  77.         return count;    
  78.     }    
  79.        
  80.     public static void main(String[] args)    
  81.                  throws NumberFormatException, IOException {   
  82.         BufferedReader bufReader =    
  83.             new BufferedReader(   
  84.                     new InputStreamReader(System.in));   
  85.            
  86.         LifeGame game = new LifeGame(10, 25);   
  87.            
  88.         System.out.println("Game of life Program");    
  89.         System.out.println(   
  90.                    "Enter x, y where x, y is living cell");   
  91.         System.out.println("0 <= x < 10, 0 <= y < 25");    
  92.         System.out.println("Terminate with x, y = -1, -1");   
  93.            
  94.         while(true) {   
  95.             String[] strs = bufReader.readLine().split(" ");   
  96.             int row = Integer.parseInt(strs[0]);   
  97.             int col = Integer.parseInt(strs[1]);   
  98.   
  99.             if(0 <= row && row < 10 && 0 <= col && row < 25)    
  100.                 game.setCell(row, col);   
  101.             else if(row == -1 || col == -1) {   
  102.                 break;   
  103.             }   
  104.             else {    
  105.                 System.out.print(   
  106.                          "(x, y) exceeds map ranage!");   
  107.             }   
  108.         }   
  109.            
  110.         while(true) {   
  111.             game.outputMap();   
  112.             game.next();   
  113.   
  114.             System.out.print(   
  115.                          "\nContinue next Generation ? ");   
  116.                
  117.             String ans = bufReader.readLine().toUpperCase();   
  118.   
  119.             if(!ans.equals("Y"))   
  120.                 break;   
  121.         }    
  122.     }   
  123. }   

import java.io.BufferedReader;import java.io.IOException;import java.io.InputStreamReader;public class LifeGame { private boolean[][] map; private boolean[][] newmap; public LifeGame(int maxRow, int maxColumn) { map = new boolean[maxRow][maxColumn]; newmap = new boolean[maxRow][maxColumn]; } public void setCell(int x, int y) { map[x][y] = true; } public void next() { for(int row = 0; row < map.length; row++) { for(int col = 0; col < map[0].length; col++) { switch (neighbors(row, col)) { case 0: case 1: case 4: case 5: case 6: case 7: case 8: newmap[row][col] = false; break; case 2: newmap[row][col] = map[row][col]; break; case 3: newmap[row][col] = true; break; } } } copyMap(); } public void outputMap() throws IOException { System.out.println("\n\nGame of life cell status"); for(int row = 0; row < map.length; row++) { System.out.print("\n "); for(int col = 0; col < map[0].length; col++) if(map[row][col] == true) System.out.print('#'); else System.out.print('-'); } } private void copyMap() { for(int row = 0; row < map.length; row++) for(int col = 0; col < map[0].length; col++) map[row][col] = newmap[row][col]; } private int neighbors(int row, int col) { int count = 0; for(int r = row-1; r <= row+1; r++) for(int c = col-1; c <= col+1; c++) { if(r < 0 || r >= map.length || c < 0 || c >= map[0].length) continue; if(map[r][c] == true) count++; } if(map[row][col] == true) count--; return count; } public static void main(String[] args) throws NumberFormatException, IOException { BufferedReader bufReader = new BufferedReader( new InputStreamReader(System.in)); LifeGame game = new LifeGame(10, 25); System.out.println("Game of life Program"); System.out.println( "Enter x, y where x, y is living cell"); System.out.println("0 <= x < 10, 0 <= y < 25"); System.out.println("Terminate with x, y = -1, -1"); while(true) { String[] strs = bufReader.readLine().split(" "); int row = Integer.parseInt(strs[0]); int col = Integer.parseInt(strs[1]); if(0 <= row && row < 10 && 0 <= col && row < 25) game.setCell(row, col); else if(row == -1 || col == -1) { break; } else { System.out.print( "(x, y) exceeds map ranage!"); } } while(true) { game.outputMap(); game.next(); System.out.print( "\nContinue next Generation ? "); String ans = bufReader.readLine().toUpperCase(); if(!ans.equals("Y")) break; } }}

9 String Match

现在的一些高级程序语言对于字符串的处理支持越来越大,不过字符串搜寻本身仍是值得探讨的课题,在这里以Boyer Moore法来说明如何进行字符串说明,这个方法速度快且容易理解。

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  1. import java.io.BufferedReader;   
  2. import java.io.IOException;   
  3. import java.io.InputStreamReader;   
  4.   
  5. public class StringMatch {   
  6.     private int[] skip;   
  7.     private int p;   
  8.     private String str;   
  9.     private String key;   
  10.        
  11.     public StringMatch(String key) {   
  12.         skip = new int[256];   
  13.         this.key = key;   
  14.            
  15.         for(int k = 0; k <= 255; k++)    
  16.             skip[k] = key.length();    
  17.         for(int k = 0; k < key.length() - 1; k++)    
  18.             skip[key.charAt(k)] = key.length() - k - 1;    
  19.     }   
  20.        
  21.     public void search(String str) {   
  22.         this.str = str;   
  23.         p = search(key.length()-1, str, key);   
  24.     }   
  25.        
  26.     private int search(int p, String input, String key) {      
  27.         while(p < input.length()) {    
  28.             String tmp = input.substring(   
  29.                                 p-key.length()+1, p+1);    
  30.   
  31.             if(tmp.equals(key))  // 比较两个字符串是否相同    
  32.                return p-key.length()+1;    
  33.             p += skip[input.charAt(p)];    
  34.         }    
  35.   
  36.         return -1;    
  37.     }   
  38.        
  39.     public boolean hasNext() {   
  40.         return (p != -1);   
  41.     }   
  42.        
  43.     public String next() {   
  44.         String tmp = str.substring(p);   
  45.         p = search(p+key.length()+1, str, key);   
  46.         return tmp;   
  47.     }   
  48.        
  49.     public static void main(String[] args)    
  50.                                       throws IOException {   
  51.         BufferedReader bufReader =    
  52.             new BufferedReader(   
  53.                     new InputStreamReader(System.in));   
  54.            
  55.         System.out.print("请输入字符串:");   
  56.         String str = bufReader.readLine();   
  57.         System.out.print("请输入搜寻关键字:");    
  58.         String key = bufReader.readLine();   
  59.            
  60.         StringMatch strMatch = new StringMatch(key);   
  61.         strMatch.search(str);   
  62.   
  63.         while(strMatch.hasNext()) {    
  64.             System.out.println(strMatch.next());    
  65.         }    
  66.     }   
  67. }  

import java.io.BufferedReader;import java.io.IOException;import java.io.InputStreamReader;public class StringMatch { private int[] skip; private int p; private String str; private String key; public StringMatch(String key) { skip = new int[256]; this.key = key; for(int k = 0; k <= 255; k++) skip[k] = key.length(); for(int k = 0; k < key.length() - 1; k++) skip[key.charAt(k)] = key.length() - k - 1; } public void search(String str) { this.str = str; p = search(key.length()-1, str, key); } private int search(int p, String input, String key) { while(p < input.length()) { String tmp = input.substring( p-key.length()+1, p+1); if(tmp.equals(key)) // 比较两个字符串是否相同 return p-key.length()+1; p += skip[input.charAt(p)]; } return -1; } public boolean hasNext() { return (p != -1); } public String next() { String tmp = str.substring(p); p = search(p+key.length()+1, str, key); return tmp; } public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader bufReader = new BufferedReader( new InputStreamReader(System.in)); System.out.print("请输入字符串:"); String str = bufReader.readLine(); System.out.print("请输入搜寻关键字:"); String key = bufReader.readLine(); StringMatch strMatch = new StringMatch(key); strMatch.search(str); while(strMatch.hasNext()) { System.out.println(strMatch.next()); } }}

10 Kanpsack Problem

假设一个背包的负重最大可达8公斤,而希望在背包内放置负重范围你价值最高的物品。

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  1. class Fruit {   
  2.     private String name;   
  3.     private int size;   
  4.     private int price;   
  5.        
  6.     public Fruit(String name, int size, int price) {   
  7.         this.name = name;   
  8.         this.size = size;   
  9.         this.price = price;   
  10.     }   
  11.        
  12.     public String getName() {   
  13.         return name;   
  14.     }   
  15.   
  16.     public int getPrice() {   
  17.         return price;   
  18.     }   
  19.   
  20.     public int getSize() {   
  21.         return size;   
  22.     }   
  23. }   
  24.   
  25. public class Knapsack {   
  26.     public static void main(String[] args) {   
  27.         final int MAX = 8;   
  28.         final int MIN = 1;   
  29.         int[] item = new int[MAX+1];    
  30.         int[] value = new int[MAX+1];     
  31.   
  32.         Fruit fruits[] = {   
  33.                 new Fruit("李子", 4, 4500),    
  34.                 new Fruit("苹果", 5, 5700),    
  35.                 new Fruit("桔子", 2, 2250),    
  36.                 new Fruit("草莓", 1, 1100),    
  37.                 new Fruit("甜瓜", 6, 6700)};    
  38.   
  39.         for(int i = 0; i < fruits.length; i++) {    
  40.             for(int s = fruits[i].getSize(); s <= MAX; s++) {    
  41.                 int p = s - fruits[i].getSize();    
  42.                 int newvalue = value[p] +    
  43.                                    fruits[i].getPrice();    
  44.                 if(newvalue > value[s]) {// 找到阶段最佳解    
  45.                     value[s] = newvalue;    
  46.                     item[s] = i;    
  47.                 }    
  48.             }    
  49.         }    
  50.   
  51.         System.out.println("物品\t价格");    
  52.         for(int i = MAX;    
  53.             i >= MIN;    
  54.             i = i - fruits[item[i]].getSize()) {    
  55.             System.out.println(fruits[item[i]].getName()+    
  56.                     "\t" + fruits[item[i]].getPrice());    
  57.         }    
  58.   
  59.         System.out.println("合计\t" + value[MAX]);     
  60.     }   
  61. }  

class Fruit { private String name; private int size; private int price; public Fruit(String name, int size, int price) { this.name = name; this.size = size; this.price = price; } public String getName() { return name; } public int getPrice() { return price; } public int getSize() { return size; }}public class Knapsack { public static void main(String[] args) { final int MAX = 8; final int MIN = 1; int[] item = new int[MAX+1]; int[] value = new int[MAX+1]; Fruit fruits[] = { new Fruit("李子", 4, 4500), new Fruit("苹果", 5, 5700), new Fruit("桔子", 2, 2250), new Fruit("草莓", 1, 1100), new Fruit("甜瓜", 6, 6700)}; for(int i = 0; i < fruits.length; i++) { for(int s = fruits[i].getSize(); s <= MAX; s++) { int p = s - fruits[i].getSize(); int newvalue = value[p] + fruits[i].getPrice(); if(newvalue > value[s]) {// 找到阶段最佳解 value[s] = newvalue; item[s] = i; } } } System.out.println("物品\t价格"); for(int i = MAX; i >= MIN; i = i - fruits[item[i]].getSize()) { System.out.println(fruits[item[i]].getName()+ "\t" + fruits[item[i]].getPrice()); } System.out.println("合计\t" + value[MAX]); }}

11 Towers of Hanoi

河內之塔(Towers of Hanoi)是法国人M.Claus(Lucas)於1883年从泰国带至法国的,河內为越战时北越的首都,即现在的胡志明市;1883年法国数学家 Edouard Lucas曾提及這个故事,据说创世紀时Benares有一座波罗教塔,是由三支钻石棒(Pag)所支撑,开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小至大排列的金盘(Disc),並命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒,且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则,若每日仅搬一个盘子,则当盘子全数搬运完毕之时,此塔将损毁,而也就是世界末日來临之时。

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  1. import java.io.*;   
  2.   
  3. public class Hanoi {   
  4.     public static void main(String args[]) throws IOException {   
  5.         int n;   
  6.         BufferedReader buf;   
  7.         buf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));   
  8.   
  9.         System.out.print("请输入盘子个数");   
  10.         n = Integer.parseInt(buf.readLine());   
  11.   
  12.         Hanoi hanoi = new Hanoi();   
  13.         hanoi.move(n, 'A', 'B', 'C');   
  14.     }   
  15.   
  16.     public void move(int n, char a, char b, char c) {   
  17.         if(n == 1)   
  18.             System.out.println("盘 " + n + " 由 " + a + " 移至 " + c);   
  19.         else {   
  20.             move(n - 1, a, c, b);   
  21.             System.out.println("盘 " + n + " 由 " + a + " 移至 " + c);   
  22.             move(n - 1, b, a, c);   
  23.         }   
  24.     }   
  25. }  

import java.io.*;public class Hanoi { public static void main(String args[]) throws IOException { int n; BufferedReader buf; buf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); System.out.print("请输入盘子个数"); n = Integer.parseInt(buf.readLine()); Hanoi hanoi = new Hanoi(); hanoi.move(n, 'A', 'B', 'C'); } public void move(int n, char a, char b, char c) { if(n == 1) System.out.println("盘 " + n + " 由 " + a + " 移至 " + c); else { move(n - 1, a, c, b); System.out.println("盘 " + n + " 由 " + a + " 移至 " + c); move(n - 1, b, a, c); } }}

13 Hanoi2Colors

Hanoi2Colors是由河内塔演变而来的一种算法。

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  1. public class Hanoi2Colors {    
  2.     public static void help() {   
  3.         System.out.println(   
  4.               "Usage: java Hanoi2Colors number_of_disks");   
  5.         System.out.println(   
  6.               "\t number_of_disks: must be a even number.");   
  7.         System.exit(0);   
  8.     }   
  9.        
  10.     public static void main(String[] args) {   
  11.         int disks = 0;           
  12.         try {   
  13.             disks = Integer.parseInt(args[0]);   
  14.         } catch (Exception e) {   
  15.             help();   
  16.         }   
  17.         if ((disks <= 0) || (disks % 2 != 0)) {    
  18.             help();    
  19.         }   
  20.         hanoi2colors(disks);   
  21.     }   
  22.         
  23.     public static void hanoi(int disks,    
  24.                       char source, char temp, char target) {   
  25.         if (disks == 1) {   
  26.             System.out.println("move disk from "    
  27.                                + source + " to " + target);   
  28.             System.out.println("move disk from "    
  29.                                + source + " to " + target);   
  30.         } else {           
  31.             hanoi(disks-1, source, target, temp);   
  32.             hanoi(1, source, temp, target);   
  33.             hanoi(disks-1, temp, source, target);   
  34.         }   
  35.     }   
  36.   
  37.     public static void hanoi2colors(int disks) {   
  38.         char source = 'A';   
  39.         char temp = 'B';   
  40.         char target = 'C';   
  41.         for (int i = disks / 2; i > 1; i--) {   
  42.             hanoi(i-1, source, temp, target);   
  43.             System.out.println("move disk from "    
  44.                                    + source + " to " + temp);   
  45.             System.out.println("move disk from "    
  46.                                    + source + " to " + temp);    
  47.             hanoi(i-1, target, temp, source);   
  48.             System.out.println("move disk from "    
  49.                                    + temp + " to " + target);   
  50.         }   
  51.         System.out.println("move disk from "    
  52.                                    + source + " to " + temp);   
  53.         System.out.println("move disk from "    
  54.                                  + source + " to " + target);   
  55.     }   
  56. }   

public class Hanoi2Colors { public static void help() { System.out.println( "Usage: java Hanoi2Colors number_of_disks"); System.out.println( "\t number_of_disks: must be a even number."); System.exit(0); } public static void main(String[] args) { int disks = 0; try { disks = Integer.parseInt(args[0]); } catch (Exception e) { help(); } if ((disks <= 0) || (disks % 2 != 0)) { help(); } hanoi2colors(disks); } public static void hanoi(int disks, char source, char temp, char target) { if (disks == 1) { System.out.println("move disk from " + source + " to " + target); System.out.println("move disk from " + source + " to " + target); } else { hanoi(disks-1, source, target, temp); hanoi(1, source, temp, target); hanoi(disks-1, temp, source, target); } } public static void hanoi2colors(int disks) { char source = 'A'; char temp = 'B'; char target = 'C'; for (int i = disks / 2; i > 1; i--) { hanoi(i-1, source, temp, target); System.out.println("move disk from " + source + " to " + temp); System.out.println("move disk from " + source + " to " + temp); hanoi(i-1, target, temp, source); System.out.println("move disk from " + temp + " to " + target); } System.out.println("move disk from " + source + " to " + temp); System.out.println("move disk from " + source + " to " + target); }}

以上是把java写的常用算法放在了一起,希望可以对我们学习java有所帮助。

最后写一个很有用的星期的介绍

如何计算某一天是星期几?

—— 蔡勒(Zeller)公式

历史上的某一天是星期几?未来的某一天是星期几?关于这个问题,有很多计算公式(两个通用计算公式和一些分段计算公式),其中最著名的是蔡勒(Zeller)公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1

公式中的符号含义如下,w:星期;c:世纪-1;y:年(两位数);m:月(m大于等于3,小于等于14,即在蔡勒公式中,某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算,比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算);d:日;[ ]代表取整,即只要整数部分。(C是世纪数减一,y是年份后两位,M是月份,d是日数。1月和2月要按上一年的13月和 14月来算,这时C和y均按上一年取值。)

算出来的W除以7,余数是几就是星期几。如果余数是0,则为星期日。

以2049年10月1日(100周年国庆)为例,用蔡勒(Zeller)公式进行计算,过程如下:

蔡勒(Zeller)公式:w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1

=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1

=49+[12.25]+5-40+[28.6]

=49+12+5-40+28

=54 (除以7余5)

即2049年10月1日(100周年国庆)是星期5。

你的生日(出生时、今年、明年)是星期几?不妨试一试。

不过,以上公式只适合于1582年10月15日之后的情形(当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历,即今天使用的公历)。

过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看)

星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六

天时间创世纪,第七天休息,所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生

活,而星期日是休息日。从实际的角度来讲,以七天为一个周期,长短也比较合适。所

以尽管中国的传统工作周期是十天(比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”,即是

指官员的工作每十日为一个周期,第十日休假),但后来也采取了西方的星期制度。

  在日常生活中,我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候,我们还想知

道历史上某一天是星期几。通常,解决这个方法的有效办法是看日历,但是我们总不会

随时随身带着日历,更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中

计算某一天是星期几,预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通

过什么公式,从年月日推出这一天是星期几呢?

  答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如,知道

了2004年5月1日是星期六,那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出

来。我们可以掰着指头从1日数到31日,同时数星期,最后可以数出5月31日是星期一。

其实运用数学计算,可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的,所以5月1日是星

期六,七天之后的5月8日也是星期六。在日期上,8-1=7,正是7的倍数。同样,5月15

日、5月22日和5月29日也是星期六,它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28,也

都是7的倍数。那么5月31日呢?31-1=30,虽然不是7的倍数,但是31除以7,余数为2,

这就是说,5月31日的星期,是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。

  这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路:首先,先要知道在想算的日子

之前的一个确定的日子是星期几,拿这一天做为推算的标准,也就是相当于一个计算的

“原点”。其次,知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天,用7除这个日期

的差值,余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是

0,就表示这两天的星期相同。显然,如果把这个作为“原点”的日子选为星期日,那

么余数正好就等于星期几,这样计算就更方便了。

  但是直接计算两天之间的天数,还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月

1日之间相隔7947天,就不是一下子能算出来的。它包括三段时间:一,1982年7月29

日以后这一年的剩余天数;二,1983-2003这二十一个整年的全部天数;三,从2004年

元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算,它等于21*365+5=7670天,之所以要加

5,是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了,比如第三段,需要把

5月之前的四个月的天数累加起来,再加上日期值,即31+29+31+30+1=122天。同理,第

一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来,再加上7月剩下的天数,一共是155天。

所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。

  仔细想想,如果把“原点”日子的日期选为12月31日,那么第一段时间也就是一个

整年,这样一来,第一段时间和第二段时间就可以合并计算,整年的总数正好相当于两

个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日(或者天文

学家所使用的公元0年12月31日),这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这

样简化之后,就只须计算两段时间:一,这么多整年的总天数;二,想算的日子是这一

年的第几天。巧的是,按照公历的年月设置,这样反推回去,公元前1年12月31日正好是

星期日,也就是说,这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就

只有一个:这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。

  我们知道,公历的平年是365天,闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在

2月加一天,但能被100整除的不闰,能被400整除的又闰。因此,像1600、2000、2400

年都是闰年,而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年,按公历也是闰年。

  因此,对于从公元前1年(或公元0年)12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年

中的闰年数,就等于

[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400],

[...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数,第二项表示需要去掉

被100整除的年份数,第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一,这

样,我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式:

W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D. (1)

其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年(或公元0年)12月

31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除,余数是几,这一天就是星期几。比如我们来

算2004年5月1日:

W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +

(31+29+31+30+1)

= 731702,

731702 / 7 = 104528……6,余数为六,说明这一天是星期六。这和事实是符合的。

  上面的公式(1)虽然很准确,但是计算出来的数字太大了,使用起来很不方便。仔

细想想,其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是

不是可以简化这个W值,只要找一个和它余数相同的较小的数来代替,用数论上的术语

来说,就是找一个和它同余的较小的正整数,照样可以计算出准确的星期数。

  显然,W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实,

(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)

= (Y-1) * (7*52+1)

= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1),

这个结果的第一项是一个7的倍数,除以7余数为0,因此(Y-1)*365除以7的余数其实就

等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为:

(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7).

其中,≡是数论中表示同余的符号,mod 7的意思是指在用7作模数(也就是除数)的情

况下≡号两边的数是同余的。因此,完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365,这样我们就得到

了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式:

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D. (2)

  这个公式虽然好用多了,但还不是最好用的公式,因为累积天数D的计算也比较麻

烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢?答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各

个月的日数,列表如下:

月  份:1月 2月  3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

--------------------------------------------------------------------------

天  数: 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

如果把这个天数都减去28(=4*7),不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张

表:

月  份:1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

------------------------------------------------------------------------

剩余天数: 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3

平年累积: 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29

闰年累积: 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30

仔细观察的话,我们会发现除去1月和2月,3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,

3;8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3,正好是一个重复。相应的累积天数中,

后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的

存在,平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达:

╭ d;                 (当M=1)

D = { 31 + d;             (当M=2)           (3)

╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i.  (当M≥3)

其中[...]仍表示只取整数部分;M和d分别是想算的日子的月份和日数;平年i=0,闰年

i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下:[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的

平年累积值,再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一

个很巧妙的办法,利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如,对2004年5月1日,有:

D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1

= 122,

这正是5月1日在2004年的累积天数。

  假如,我们再变通一下,把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”,不仅仍

然符合这个公式,而且因为这样一来,闰日成了上一“年”(一共有14个月)的最后一

天,成了d的一部分,于是平闰年的影响也去掉了,公式就简化成:

D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d. (3≤M≤14) (4)

上面计算星期几的公式,也就可以进一步简化成:

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7

+ (M-1) * 28 + d.

因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除,所以去掉这两项,W除以7的余数不变,

公式变成:

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d.

                                    (5)

当然,要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月,因此在计算1月和2月的日子

的星期时,除了M要按13或14算,年份Y也要减一。比如,2004年1月1日是星期四,用这

个公式来算,有:

W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]

+ 1

= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1

= 2524;

2524 / 7 = 360……4.这和实际是一致的。

  公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了,但它还不是最简练的,对于年

份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期,列

表如下:

年份: 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)

--------------------------------------------------------------------

星期: 4 2

==============================================

年份:201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)

--------------------------------------------------------------------

星期: 0 5

可以看出,每隔四个世纪,这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301)

年3月1日的星期数看成是-2(按数论中对余数的定义,-2和5除以7的余数相同,所以可

以做这样的变换),那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此,我们

可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式:

W = (4 - C mod 4) * 2 - 4. (6)

式中,C是该世纪的世纪数减一,mod表示取模运算,即求余数。比如,对于2001年3月

1日,C=20,则:

W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4

= 8 - 4

= 4.

  把公式(6)代入公式(5),经过变换,可得:

(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1

(mod 7). (7)

因此,公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项,在计算

每个世纪第一年的日期的星期时,可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写

出来就是:

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d. (8)

有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式,计算这个世纪其他各年的日期星期的公式

就很容易得到了。因为在一个世纪里,末尾为00的年份是最后一年,因此就用不着再考

虑“一百年不闰,四百年又闰”的规则,只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)

简化为公式(2)的方法,我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意

一天是星期几的公式:

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d. (9)

式中,y是年份的后两位数字。

  如果再考虑到取模运算不是四则运算,我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写

成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系:

4q + r = C,

其中r即是 C mod 4,因此,有:

r = C - 4q

= C - 4 * [C/4]. (10)

(4 - C mod 4) * 2 = (4 - C + 4 * [C/4]) * 2

= 8 - 2C + 8 * [C/4]

≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7). (11)

把式(11)代入(9),得到:

W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1. (12)

这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W,再除以7,得到的余数是

几就表示这一天是星期几,唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月,

C和y都按上一年的年份取值。因此,人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的

公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒(Christian Zeller, 1822-

1899)在1886年推导出的,因此通称为蔡勒公式(Zeller’s Formula)。为方便口算,

式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。

  现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期,显然C=20,y=4,M=5,d=1,代入蔡勒

公式,有:

W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1

= -15.

注意负数不能按习惯的余数的概念求余数,只能按数论中的余数的定义求余。为了方便

计算,我们可以给它加上一个7的整数倍,使它变为一个正数,比如加上70,得到55。

再除以7,余6,说明这一天是星期六。这和实际是一致的,也和公式(2)计算所得的结

果一致。

  最后需要说明的是,上面的公式都是基于公历(格里高利历)的置闰规则来考虑

的。对于儒略历,蔡勒也推出了相应的公式是:

W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1. (13)

  这样,我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。

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